Неперервна функція може бути недиференційовною. Будь-яка диференційована функція завжди неперервна. Однак неперервна функція не повинна бути диференційовною. Будь-яка функція на графіку, де відбувається крутий поворот, вигин або вигин, може бути неперервною, але не диференційованою в цих точках.
Зв’язок між неперервністю та диференційованістю: якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці. Проте якщо функція неперервна в точці, можливо, вона не диференційовна. Диференційованість передбачає безперервність, але неперервність не передбачає диференційованості.
Зокрема, будь-яка диференційована функція повинна бути неперервною в кожній точці своєї області визначення. Зворотне не має місця: неперервна функція не обов’язково диференційовна. Наприклад, функція з вигином, вершиною або вертикальним дотичним може бути неперервною, але її не можна диференціювати в місці аномалії.
І у випадку, якщо f(x) називається неперервною, ми не можемо просто сказати, що вона диференційовна, оскільки це не просто межа f(x), яку ми обчислюємо, але межа нахилу f(x) – це те, що нам потрібно обчислити, щоб знайти властивість диференційованості f(x).
f ( x ) = | х | . Цю функцію запропонував Карл Вейерштрасс, вона не диференційовна, а неперервна. f ( x ) = | х | . Ця функція є неперервною, але не відзначається при X=0 через пік.
Функція, яка стрибає, не диференційовна при стрибку, а також та, яка має вершину, наприклад |x| має при x = 0. Зазвичай найпоширеніші форми недиференційованої поведінки включають функцію, що прямує до нескінченності в точці x, або має стрибок чи пік у точці x. Однак є й більш дивні речі.